Лекция №16 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

 

Неустановившееся движение жидкости в жестких трубах
 
Как указывалось выше, неустановившимся или нестационарным движением жидкости называется движение, переменное по времени. При этом движение, как вектор скорости, так и давление в жидкости являются функциями не только координат точки, но и времени. Таким образом, dv / dt ¹ 0 и dP/dt ¹ 0.
В потоке идеальной несжимаемой жидкости выделим элемент струйки длиной dl и площадью сечения dS (рисунок 1). Применим к массе этого элемента второй закон Ньютона, причем уравнение запишем в проекции на направление касательной к осевой линии струйки. Будем иметь
или
Рисунок 1. Схема для вывода уравнения неустановившегося течения
 
Частная производная от давления p использована потому, что давление, так же как и скорость v, является функцией двух переменных -l и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от v по t, т.е. полное ускорение, которое равно сумме локального (местного) ускорения, обусловленного нестационарностью движения, и конвективного ускорения, определяемого геометрией потока, т.е.
Учитывая, что cosa=-z/l, где z – вертикальная координата, перепишем уравнение движения в виде

Интегрируя вдоль струйки от сечения 1-1 до сечения 2-2 в тот же фиксированный момент времени, получаем

После деления на g и перегруппировки членов будем иметь

(1)
Полученное уравнение отличается от уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости лишь четвертым членом в правой части, который называется инерционным напором
Из уравнения (1) ясен физический смысл инерционного напора hин: это есть разность полных напоров (полных энергий жидкости, отнесенных к единице веса жидкости) в сечениях 1-1 и 2-2 в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением (или торможением) потока жидкости.
Для неустановившегося потока вязкой жидкости необходимо учесть еще неравномерность распределения скоростей и потери напора, следовательно, уравнение (1) будет иметь вид
Уравнение (2) сходно с уравнением Бернулли для относительного движения, в котором член D Hин также называют инерционным напором. Однако величины hин и D Hин имеют разный смысл.
Для трубы постоянного диаметра локальное ускорение a= v / t также постоянно вдоль трубы, следовательно, инерционный напор
Если трубопровод состоит из нескольких участков с сечениями разных площадей S1, S2 и т.д. (или трубопровод присоединен к цилиндру, в котором ускоренно движется поршень), то инерционный напор для всего трубопровода равен сумме инерционных напоров для каждого участка. При этом соответствующие ускорения определяют из уравнений, представляющих собой результат дифференцирования выражения расхода Q по времени, т.е.
В уравнение в этом случае вместо hин следует подставить
Инерционный напор hин вводят в правую часть уравнения, причем его знак соответствует знаку ускорения a. При положительном ускорении a величина hин также положительна, что означает уменьшение полного напора вдоль потока аналогично уменьшению его вследствие гидравлических сопротивлений. Однако инерционный напор нельзя рассматривать как безвозвратно потерянный. При отрицательном ускорении (торможении потока) величина a отрицательная, а это значит, что торможение потока способствует возрастанию полного напора жидкости вдоль потока, т.е. его действие противоположно действию гидравлических сопротивлений. Все сказанное относится лишь к определенному моменту времени или к равноускоренному движению жидкости (a = const). При переменной величине a характер распределения напоров вдоль потока изменяется с течением времени.
В виде примера на рисунке 2, a показана труба постоянного сечения, соединяющая два резервуара. Внутри трубы находится поршень, который движется справа налево со скоростью v и с положительным ускорением a. С таким же ускорением движется жидкость в трубе. Для каждого из участков трубы – всасывающего (до поршня) и напорного (за поршнем) – на рисунке показаны линии изменения полного напора (H-H), пьезометрических высот (p-p), а также потерь напора ShП и инерционного напора hин в некоторый определенный момент времени. Из рисунка видно, что инерционный напор при неустановившемся течении способствует снижению давления и даже возникновению вакуума за поршнем и вызывает более значительное повышение давления перед поршнем по сравнению с установившемся движением.
На рисунке 2, б показаны те же линии при отрицательном ускорении a того же поршня при той же скорости, направленной справа налево. В этом случае инерционный напор компенсирует потери напора, и гидравлический уклон изменяет знак на обратный.
Рисунок 2. Построение пьезометрических линий и линий полного напора
Рисунок 3. Изменение профиля скоростей при ускоренном ламинарном движении
 
 
Гидравлические потери при неустановившемся движении в общем случае отличны от потерь при установившемся движении. Это связано с видоизменением профиля скоростей по сечению трубы. Так, при ускоренном движении жидкости профиль делается более полным (коэффициент a уменьшается), а при замедленном – более вытянутым (a увеличивается). На рисунке 3 показано изменение распределения скоростей по сечению трубы при ускоренном ламинарном движении жидкости при трех значениях расхода (рисунок 3, а – при равномерном движении, рисунок 3, б – при ускоренном). Как видно из рисунка, в отдельных случаях вблизи стенки трубы возникают даже противотоки.
В частном случае ламинарного течения с гармоническим изменением расхода по времени в закон Пуазейля, записанный для данного момента времени, надо ввести поправочный коэффициент c, который, по исследованиям Д.Н. Попова, является функцией безразмерной частоты
где w - угловая частота колебаний жидкости с вязкостью n в трубе диаметром d.
Безразмерная частота определенным образом связана с основными критериями подобия для данного случая – с числами Рейнолдса и Струхаля.
Поправочный коэффициент c можно найти по формуле Д.Н. Попова
При увеличении частоты возрастание гидравлических потерь может быть весьма значительным, причем различие между потерями при ламинарном и турбулентном режимах уменьшается.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое движение называется неустановившимся?
2. Какой вид имеет уравнение Бернулли при медленно изменяющемся неустановившемся движении?
3. В чем отличие гидравлических потерь при неустановившемся движении?

Предыдущая лекция
В начало
Следующая лекция