Лекция 6 Теории игр в моделях логистических систем

 

Цель: Рассмотреть основные понятия теории игр в моделях логистических систем. Научиться определять верхнюю и нижнюю цену игры, решать игры вида 2x2 в смешанных стратегиях.

Ключевые слова: игра, выигрыш, платежная матрица, нижняя цена игры, верхняя цена игры, смешанная стратегия.

План лекции:

1.Понятие об игровых моделях логистической системы;

2.Платежная матрица. Нижняя  и верхняя цена игры;

3. Решение игры в смешанных стратегиях;

 

 

6.1  Понятие об игровых моделях

 

Главная задача управленческого персонала любой компании – своевременное принятие правильного решения. Такого рода задачи встречаются во многих сферах человеческой деятельности: в экономике, в политике, в военном деле и др. Довольно часто приходится принимать решения в условиях неопределенности, а именно, возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Например:

1) доход производителя некоторого продукта зависит не только от цены на этот продукт, но и от того, сколько продукта решит купить покупатель по данной цене;

2) при выборе ассортимента товаров, выпускаемых данным предприятием, необходимо учитывать, какой ассортимент товаров будут выпускать другие предприятия. Иначе может оказаться, что товары, выпущенные данным предприятием, не найдут сбыта;

Все ситуации, когда эффективность действия одного участника не зависит от действия других участников, можно разделить на два типа:

1) ситуации, когда интересы участников совпадают. В этих случаях участники должны договориться между собой о совместных действиях;

2) ситуации, когда интересы участников не совпадают. Тогда им не выгодно сообщать друг другу свои решения, так как кто-либо из участников сможет воспользоваться значением чужих решений и получить больший выигрыш. Ситуации такого рода называются конфликтными.

Теория игр занимается построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач.

Упрощенная модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте – игроками, а исход конфликта – выигрышем.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множественные.

Если во множественной игре интересы игроков совпадают, то они могут объединяться, создавать коалиции. Такие игры называются коалиционными.

Наибольшее практическое значение имеют парные игры. Обозначим игроков через А и В. Предполагается, что результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом.

Ходом игрока будем называть выбор одного из предложенных правилами игры действий и его осуществлением.

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор ходов в течение игры.

    Задача теории игр – определение для игроков оптимальной стратегии, т.е. такой стратегии, которая при многократном повторении игры обеспечивает каждому игроку максимально возможный средний выигрыш.

Теория игр является современной, научной методикой принятия оптимальных решений в условиях противоречий, в условиях конфликта, в условиях неполного знания тех обстоятельств, в которых приходится принимать решение, применима в логистической системе.

 

 

6.2 Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

 

Рассмотрим простейшую математическую модель конфликтной ситуации, когда имеются два участника и когда выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Задача первого игрока – максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока – минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока. Игру можно представить в виде матрицы, в которой строки – стратегии первого игрока, столбцы стратегии второго игрока, а элементы матрицы – выигрыши первого игрока. Такую матрицу называют платежной (или матрицей игры). В общем случае парную игру с нулевой суммой можно записать платежной матрицей.

 

Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image001.gif

(6.1)

 

Задача каждого из игроков – найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Пусть игрок А выбирает  некоторую стратегию Аi, тогда в наихудшем случае он получит выигрыш, равный Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image002.gif. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбирать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image003.gif:

 

Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image004.gif

(6.2)

 

Величина Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image003.gif-гарантированный выигрыш игрока А – называется  нижней ценой игры. Стратегия обеспечивающая получение Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image003.gif называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии Вj его проигрыш не превосходит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image005.gif. Поэтому игрок В, очевидно, выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image006.gif минимизируется:

 

Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image007.gif

(6.3)

 

Величина Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image006.gif называется верхней ценой игры, а соответствующая ему стратегия игрока  – минимаксной.

Теорема. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image008.gif.

Если Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image009.gif, то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image010.gif - седловой точкой матрицы. Число Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image011.gif называется ценой игры.  Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях. 

 

 

Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной.

Смешанной стратегией Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image012.gif игрока А называется применение им чистых стратегий Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image013.gif с вероятностями Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image014.gif соответственно, причем Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image015.gif  Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image016.gif

Аналогично определяется смешанные стратегии Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image017.gifигрока В, как применение чистых стратегий Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image018.gif с вероятностями Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image019.gif соответственно, причем Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image020.gif

 

Основная теорема теории игр (Теорема Неймана).

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно среди смешанных стратегий.

Если чистая стратегия  применяется с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях:

Если один из игроков придерживается своей активной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение – она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим матричную игру 2x2. Платежная матрица такой игры имеет вид:

 

Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image021.gif

(6.4)

 

Если седловой точки нет, то решением являются смешанные стратегии  Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image022.gif, которые находятся из решения систем уравнений:

 

(1)  Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image023.gif      и       Описание: Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec6.files\image024.gif    (2)

 

Замечание.  Для решения  системы (2)  достаточно выбрать два уравнения, т.к. после решения системы (1) цена игры v уже найдена. Можно взять первое и третье уравнения либо второе и третье уравнения. Матрицы большой размерности можно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания  дублирующих (одинаковых) и заведомо невыгодных стратегий.