Лекция 5 Стохастические модели управления запасами в логистической системе

 

Цель: Определить разницу между статистическими и стохастическими моделями управления запасами. Рассмотреть основные стохастические модели управления запасами логистической системы. Научиться решать задачи логистических систем с использованием данных моделей.

Ключевые слова: функция распределения величины спроса, математическое ожидание, плотность убытков.

План лекции:

1. Стохастические модели управления запасами логистической системы;

2. Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок;

 

 

5.1 Стохастические модели управления запасами логистической системы

 

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у ко­торых спрос является случайным. Этот факт существенным обра­зом сказывается на характере соответствующих моделей и значи­тельно усложняет их анализ, в связи, с чем ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предполагаем, что величина спроса не является постоянной и детерминированной, но с известным распределением.

Пусть

S размер запаса на начало периода планирования;

Dвеличина спроса за период планирования (целое число);

Hудельные издержки хранения за период;

В – удельные издержки дефицита за период;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image001.gif - вероятность того, что величина спроса за период планирования составит D.

 

Функция распределения величины спроса

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image002.gif.

 

В случае, когда величина спроса за период планирования превышает размер запаса  (Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image003.gif), возникает дефицит и соответствующие издержки дефицита. Если запас больше, чем величина спроса (Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image004.gif), то возникают издержки хранения. Математическое ожидание Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image005.gif величины издержек хранения за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image006.gif

Математическое ожидание Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image007.gif величины издержек дефицита за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image008.gif

Математическое ожидание Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image009.gif совокупных издержек в этом случае имеет вид

 

            

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image010.gif

(5.1)

                

В стохастической модели оптимальным является такой размер начального запаса Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image011.gif, при котором математическое ожидание совокупных издержек Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image012.gif имеет минимальное значение, т.е. такой размер запаса Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image011.gif, который удовлетворяет условию

             

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image013.gif

(5.2)

                                                                

где     Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image014.gif - функция распределения спроса;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image015.gif - плотность убытков из-за неудовлетворительного спроса.

 

Если Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image016.gif, то Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image017.gif и оптимальными являются как размер запаса Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image011.gif, так и размер запаса Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image018.gif.

 

 

 

5.2 Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок

 

В рассмотренных выше моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.

Пусть за время задержек поставок  L  уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image019.gif.

Введем обозначения:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image020.gif - первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image021.gif - запас за i-й период;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image022.gif-  спрос за i-й период;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image023.gif - пополнение запаса за i-й период.

Тогда к концу n-го периода на склад поступит  Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image024.gif единиц продукта, а будет израсходовано Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image025.gif единиц, т.е.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image026.gif

или

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image027.gif

 

где

                                   

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image028.gif 

(5.3)

                                           

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image029.gif

Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного раннее заказа.

Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (1), а оптимальных запас Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image030.gif находится по формуле (2), т.е.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image013.gif

 

Найдя оптимальный запас Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image031.gif и зная Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image032.gif можно вычислить Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image033.gif по формуле (3), т.е.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image034.gif

 

Отметим, что найти аналитически оптимальные значения точки запаса Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec5.files\image031.gif и объема партии n удается только в относительно простых случаях. Если система хранения запасов имеет сложную структуру, (много видов хранимой продукции, иерархическая система складов), используемые стохастические модели сложны,  их параметры меняются во времени, единственным средством анализа такой системы становится имитационное моделирование. Оно позволяет имитировать («проигрывать») на ЭВМ функционирование системы, исследуя ее поведение при различных условиях и значениях параметров, отражая их случайный характер, изменение во времени и т.п.