Лекция 2 Модель Леонтьева логистической системы многоотраслевой экономики

 

Цель: Изучить линейную модель логистической системы многоотраслевой экономики. Научиться находить коэффициенты матриц, прямых, полных материальных и ресурсных затрат, решать задачи с помощью балансовой модели.

Ключевые слова: линейная модель логистической системы многоотраслевой экономики, матрицы прямых и полных материальных затрат, ресурсные затраты, косвенные затраты, продуктивная модель Леонтьева.

План лекции:

1. Балансовые соотношения;

2. Линейная модель логистической системы многоотраслевой экономики;

3. Продуктивные модели Леонтьева;

 

 

2.1 Балансовые соотношения.

 

Хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает непростая  задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 году в трудах американского экономиста В.В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Он является автором современной модели межотраслевого баланса («input-output analysis»). В 1973 г. В.В. Леонтьев был удостоен премии А. Нобеля по экономике «за развитие метода «затраты-выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам». Предложенная Леонтьев алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводилась к системе линейных уравнений, в которых параметрами были коэффициенты затрат на производство продукции. Леонтьев показал, что коэффициенты, выражающие отношения между секторами экономики могут быть оценены статистически, что они достаточно устойчивы и их можно прогнозировать, обосновал существование наиболее важных коэффициентов, изменения которых необходимо отслеживать в первую очередь. Относительная простота измерений определила большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты-выпуск».

Межотраслевой балансовый метод применяется для анализа и планирования производства и распределения продукции на разных уровнях - от отдельного предприятия до экономики страны в целом. Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы. Отчетный межотраслевой баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенный в стране за отчетный год. Плановый межотраслевой баланс предназначен для планирования производства валового внутреннего продукта.

Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть  производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени, в ряде случаев такой единицей служит год. Введем следующие обозначения:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image001.gif - количество продукции i-й отрасли, расходуемое в j-й отрасли;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image002.gif - объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image003.gif - объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.

Zj – условно чистая продукция j-й отрасли, включающая оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Если все рассмотренные выше показатели представлены в межотраслевом балансе в тоннах, километрах, штуках, литрах и т.д., то баланс называется натуральным. Если же эти показатели указаны в денежном выражении, то баланс называют стоимостным.

В следующей таблице отражена принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении.

 

Таблица 2.1

Производящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой выпуск

1

2

n

1

 

x11

 

x12

 

 

x1n

 

Y1

 

X1

2

 

……….

 

x21

……….

 

x22

……..

 

 

x2n

……….

 

Y2

………….

 

X2

…………

 

N

 

xn1

 

xn2

 

 

xnn

 

Yn

 

Xn

Условно чистая

продукция

Z1

Z2

Zn

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image004.gif

 

Валовой продукт

X1

X2

 

Xn

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image005.gif

 

Балансовый принцип связи различных отраслей заключается в следующем:

1)                Рассматривая схему баланса по столбцам очевидно, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image006.gif

(2.1)

Эта система из n уравнений отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

2. Если рассмотреть схему межотраслевого баланса по строкам для каждой производящей отрасли, то видно, что валовая продукция любой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции отрасли:

     

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image007.gif

(2.2)

             

Это система n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства  по  направлениям использования. Равенство  означает, что вся произведенная  отраслью i  продукция потребляется. Часть ее (промежуточная продукция) идет на производственные  нужды других отраслей. Другая часть  потребляется в форме конечной продукции.

Балансовый характер таблице выражается в том, что

                        

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image004.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image005.gif

(2.3)

 

 

2.2 Линейная модель многоотраслевой экономики

 

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса оставляет матрица прямых затрат

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image008.gif

 (2.4)

 

Коэффициент прямых затрат Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image009.gif показывает, какое количество продукции  i-й отрасли необходимо (если учитывать только прямые затраты) для производства единицы продукции j-й отрасли:

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image010.gif

 (2.5)

 

Леонтьевым был установлены следующие два факта:

1) в течение длительного времени величины Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image009.gif меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, т.е. предполагается что сложившаяся технология производства неизменна;

2) для выпуска j-й отраслью любого объема продукции Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image011.gif необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image012.gif, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производства.

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image013.gif

 (2.6)

 

Т.о. существующая технология линейна.

Подставляя последнее выражения в балансовое соотношение (2) получаем:

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image014.gif

 (2.7)

или

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image015.gif

 

 (2.8)

 

Обозначим Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image016.gif - вектор-столбец объема произведенной продукции (вектор валового

 выпуска), Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image017.gif - вектор-столбец объема конечного потребления (вектор конечного потребления).

Тогда система (3) в матричной форме примет вид:

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image018.gif

(2.9)

 

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса или моделью Леонтьева. С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

1) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi) можно определить  объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi)

 

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image019.gif

(2.10)

2) Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi)можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi)

 

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image020.gif

(2.11)

3) Задав величины валовой продукции для ряда отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Введем обозначение:

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image021.gif

(2.12)

 

Тогда матричное уравнение (5) можно записать  в виде:

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image022.gif

(2.13)

Элементы матрицы P называются коэффициентами полных затрат. Они показывают, сколько нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

    Элементы матрицы P включают не только затраты  i-ой продукции, необходимой для создания одной единицы  j-ой продукции, но и те затраты, которые необходимы для создания в каждой отрасли одной единицы конечной продукции.

Таким образом, полные затраты включают в себе как  прямые, так и косвенные затраты  всех порядков. Косвенные затраты относятся к  предшествующим стадиям производства и входят  в продукт не прямо, а  через другие средства производства.

Дадим другое определение  коэффициентов полных материальных затрат, вводя понятие коэффициентов косвенных затрат I,II  и т.д. порядков.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image023.gif

(2.14)

где     Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image024.gif - матрица коэффициентов косвенных затрат 1  порядка;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image025.gif- матрица коэффициентов косвенных затрат II порядка и т.д.

 

Различные модификации модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в логистической системе  позволяют расширить  круг показателей, охватываемых этой моделью. Так, с помощью этого метода можно определить  затраты труда, показатели фондоёмкости продукции и др. величины на различных логистических этапах производства, транспортировки, хранения и сбыта продукции. Для этого  отдельной строкой задается  распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции, а также отдельной строкой (отдельными  строками) указываются в стоимостном выражении объемы производственных фондов, др. показателей, занятых  в каждом  элементе логистической системы по отраслям.

          На основании этих данных и объемов валовой продукции отраслей определяются коэффициенты прямых ресурсных затрат:              

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image026.gif

(2.15)

 

где  Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image027.gif- затраты ресурсов группы i, используемых в отрасли j.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image028.gif- матрица коэффициентов прямых ресурсозатрат.

 

Коэффициенты Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image029.gif определяют затраты ресурсов группы i на  единицу стоимости валовой продукции отрасли j.

          Суммарные расходы ресурсов на все отрасли определяются по формуле:                                   

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image030.gif

(2.16)

         Коэффициенты ресурсозатрат  межотраслевого баланса позволяют увязать  планируемый выпуск продукции с имеющимися ресурсами.

 

 

2.3 Продуктивные модели Леонтьева.

 

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно проводить, если выполняется условие продуктивности. Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор  Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image031.gif, что                   

                                

 

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image032.gif

(2.17)

          Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image033.gif.

          Существует несколько критериев продуктивности приведем некоторые из них:

1) Матрица А продуктивна только и только тогда, когда матрица Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image034.gif существует и ее элементы неотрицательны.

2) Матрица А продуктивна только и только тогда, когда матричный ряд

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image035.gif

(2.18)

сходится, причем его сумма равна обратной матрице Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image036.gif.

3) Матрица А продуктивна только и только тогда, когда наибольшее по модулю собственное значение Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image037.gif матрицы  А , т.е. решение характеристического уравнения Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image038.gif строго меньше единицы.

4) Матрица А  с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\Lec2.files\image039.gif

(2.19)

 

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.