Лекция 12 Системы массового обслуживания с ожиданием  логистических системах

 

Цель: Научится рассчитывать основные показатели эффективности одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с ожиданием.

Ключевые слова: вероятность простоя канала обслуживания, длина очереди, абсолютная пропускная способность системы, вероятность обслуживания, среднее число занятых обслуживанием каналов, ограниченная очередь.

План лекции:

1. Показатели эффективности СМО с ожиданием в логистических системах;

2. Одноканальная система с неограниченной очередью;

3. Многоканальная система с неограниченной очередью;

4. Система массового обслуживания с ограниченной очередью;

5. Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

 

 

12.1 Показатели эффективности СМО с ожиданием в логистических системах

 

Заявка, поступившая в систему и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождение одного из каналов (СМО с неограниченной очередью) в случае ограничения очереди покидает систему необслуженной. Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди). В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием используются:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image001.gif- абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image002.gif- относительная пропускная способность СМО, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image003.gif - вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image004.gif - вероятность занятости обслуживанием k каналов;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image005.gif - вероятность отказа, т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image006.gif - вероятность обслуживания;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image007.gif - вероятность того, что заявка окажется в очереди;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image008.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image009.gif - среднее число заявок в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image010.gif - среднее время пребывания заявки в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image011.gif - среднее число заявок в очереди (длина очереди);

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image012.gif - среднее время ожидания заявки в очереди.

 

 

12.2 Одноканальная система с неограниченной очередью

 

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (телефон с одним оператором). Рассмотрим задачу. Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, но по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image013.gif, а поток обслуживаний – интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image014.gif. Необходимо найти показатели эффективности СМО.

Прежде чем определить формулы показателей эффективности, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image015.gif, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image016.gif, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то искомые вероятности существуют. Если Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image017.gif, очередь растет до бесконечности.

Для систем с неограниченной очередью характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е. Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image018.gif, Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image019.gif, Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image020.gif. Остальные характеристики определим по следующим формулам:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image021.gif - вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image022.gif - вероятность занятости канала обслуживанием;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image023.gif - вероятность того, что заявка окажется в очереди;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image024.gif - среднее число заявок в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image025.gif - среднее число заявок в очереди (длина очереди);

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image026.gif - среднее время ожидание заявки в очереди;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image027.gif - среднее время пребывания заявки в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image028.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов.

 

 

12.3 Многоканальная система с неограниченной очередью

 

Рассмотрим задачу. Имеется  n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО имеет интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image013.gif, а поток обслуживаний – интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image014.gif. Необходимо найти показатели эффективности СМО. Можно сказать, что при Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image029.gif искомые показатели существуют. Если Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image030.gif, очередь растет до бесконечности.

 

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image031.gif

(12.1)

 

вероятность простоя каналов, когда нет заявок;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image032.gif - вероятность занятости обслуживанием k каналов;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image033.gif - вероятность занятости обслуживанием всех каналов;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image034.gif - вероятность того, что заявка окажется в очереди;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image035.gif - среднее число заявок в очереди (длина очереди);

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image036.gif - среднее число заявок в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image027.gif - среднее время пребывания заявки в системе;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image037.gif - среднее время ожидание заявки в очереди;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image028.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов.

 

 

12.4 Система массового обслуживания с ограниченной очередью

 

СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного m). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.  Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

1)    ограничения сверху времени пребывания заявки в очереди;

2)    ограничения сверху длину очереди;

3)    ограничения общего времени пребывания заявки в системе.

Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Формулы для вычисления основных показателей эффективности приведены в таблице:

 

Таблица 12.1

Показатели

Одноканальная СМО с

ограниченной очередью

Многоканальная СМО с

ограниченной очередью

вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image038.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image039.gif

вероятность занятости канала обслуживанием

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image022.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image032.gif

вероятность занятости обслуживанием всех каналов

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image022.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image033.gif

вероятность отказа

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image040.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image041.gif

абсолютная пропускная способность СМО

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image042.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image043.gif

относительная пропускная способность СМО

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image044.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image045.gif

среднее число заявок в очереди

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image046.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image047.gif

среднее число занятых обслуживанием каналов

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image048.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image049.gif

среднее число заявок в системе

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image050.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec12.files\image050.gif

 

 

12.5 Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

 

На практике часто встречается СМО с так называемыми «нетерпеливыми» заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потери качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценности (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.