Лекция 11 Системы массового обслуживания с отказами в логистических системах

 

Цель: Научится рассчитывать основные показатели эффективности одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с отказами. Уметь применять формулу Эрланга.

Ключевые слова: вероятность простоя канала обслуживания, вероятность отказа, абсолютная пропускная способность системы, вероятность обслуживания, среднее число занятых обслуживанием каналов.

План лекции:

1. Показатели эффективности СМО с отказами логистических системах;

2. Одноканальная система с отказами;

3. Многоканальная система с отказами.

 

 

11.1 Показатели эффективности СМО с отказами логистических системах

 

Определим систему массового обслуживания с отказами. Заявка, поступившая в СМО с отказами  и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему  необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшем, длительность (время) обслуживания одной заявки Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image001.gif распределена по показательному закону. В качестве основных показателей эффективности СМО с отказами рассматривается:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image002.gif- абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image003.gif- относительная пропускная способность СМО, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image004.gif - вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image005.gif - вероятность отказа, т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image006.gif - вероятность обслуживания;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image007.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов.

 

 

11.2 Одноканальная система с отказами

 

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image008.gif. Поток обслуживаний имеет интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image009.gif. Требуется определить эффективность работы СМО.

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image010.gif - вероятность простоя каналов обслуживания;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image011.gif- вероятность отказа;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image012.gif - вероятность обслуживания;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image013.gif - относительная пропускная способность;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image014.gif - абсолютная пропускная способность;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image015.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов.

 

 

11.3 Многоканальная система с отказами

 

Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image008.gif. Поток обслуживаний имеет интенсивность Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image009.gif. Найти показатели эффективность СМО.

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image016.gif

(11.1)

Вероятность простоя каналов обслуживания;

Вероятность отказа  СМО определяется по формулам Эрланга:

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image017.gif

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image018.gif- вероятность того, что все n каналов системы заняты;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image012.gif - вероятность обслуживания;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image019.gif - относительная пропускная способность;

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image020.gif - абсолютная пропускная способность;

Среднее число занятых обслуживанием каналов Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image021.gif есть математическое ожидание числа занятых каналов

 

Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image022.gif

(11.2)

где    Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image023.gif - вероятности, определяемые по формулам Эрланга.

 

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image009.gif заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов можно определить как Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image024.gif  или Описание: Описание: F:\Эл Учебник 2\Заготовки на русском\Теория\lec11.files\image015.gif - среднее число занятых обслуживанием каналов.